Intuition
Les fonctions trigonométriques inverses permettent de déterminer un angle à partir d'une valeur trigonométrique.
Formules de dérivation
\( (\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
\( (\arccos x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
\( (\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2} \)
\( (\operatorname{arcsec}x)'=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \)
\( (\operatorname{arccsc}x)'=-\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \)
\( (\operatorname{arccot}x)'=-\dfrac{1}{1+x^2} \)
Attention
Les dérivées de arcsec et arccsc contiennent toujours une valeur absolue \( |x| \).
Exemple 1 — Arcsinus
Fonction : \(f(x)=\arcsin(x)\)
Application directe :
\(f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
Résultat :
\( f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
Exemple 2 — Arctangente composée
Fonction : \(f(x)=\arctan(3x-1)\)
Étape 1 : Identifier la fonction intérieure.
\(u(x)=3x-1\)
\(u'(x)=3\)
Étape 2 : Appliquer la règle de la chaîne.
\( f'(x) = \dfrac{1}{1+(3x-1)^2} \cdot3 \)
Résultat :
\( f'(x) = \dfrac{3}{1+(3x-1)^2} \)
Exemple 3 — Arcsec composée
Fonction : \(f(x)=\operatorname{arcsec}(2x)\)
Étape 1 : Identifier la fonction intérieure.
\(u(x)=2x\)
\(u'(x)=2\)
Étape 2 : Appliquer la règle de la chaîne.
\( f'(x) = \dfrac{1}{|2x|\sqrt{(2x)^2-1}} \cdot2 \)
Étape 3 : Simplifier.
\( f'(x) = \dfrac{1}{|x|\sqrt{4x^2-1}} \)
Résultat :
\( f'(x) = \dfrac{1}{|x|\sqrt{4x^2-1}} \)