Exercices corrigés en détail
1. \( f(x)=x^2 e^{3x}\sin(x) \)
Étape 1 — Identifier la structure :
Produit de 3 fonctions : \( u=x^2,\; v=e^{3x},\; w=\sin(x) \)
Étape 2 — Règle du produit étendue :
\( (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw' \)
Étape 3 — Dérivées :
\( u'=2x \)
\( v'=3e^{3x} \) (chaîne)
\( w'=\cos(x) \)
Étape 4 — Substitution :
\( f'(x)=2x e^{3x}\sin(x)+x^2(3e^{3x})\sin(x)+x^2 e^{3x}\cos(x) \)
\( f'(x)=e^{3x}\left(2x\sin(x)+3x^2\sin(x)+x^2\cos(x)\right) \)
2. \( f(x)=\ln(x)\,e^{x^2} \)
Étape 1 : produit \( u=\ln(x), v=e^{x^2} \)
Étape 2 — dérivées :
\( u'=\frac{1}{x} \)
\( v'=2x e^{x^2} \) (chaîne)
Étape 3 — produit :
\( f'(x)=u'v+uv' \)
Étape 4 :
\( f'(x)=\frac{1}{x}e^{x^2}+\ln(x)\cdot 2x e^{x^2} \)
\( f'(x)=e^{x^2}\left(\frac{1}{x}+2x\ln(x)\right) \)
3. \( f(x)=\frac{x^2 e^x}{\ln(x)} \)
Étape 1 : quotient \( u=x^2 e^x,\; v=\ln(x) \)
Étape 2 — dériver u :
Produit : \( u'=2x e^x + x^2 e^x \)
Étape 3 — dériver v :
\( v'=\frac{1}{x} \)
Étape 4 — quotient :
\( f'(x)=\frac{u'v - uv'}{v^2} \)
\( f'(x)=\frac{(2x e^x + x^2 e^x)\ln(x) - x^2 e^x \cdot \frac{1}{x}}{\ln^2(x)} \)
4. \( f(x)=\sin(x^2)e^{\cos(x)} \)
Étape 1 : produit \( u=\sin(x^2), v=e^{\cos(x)} \)
Étape 2 :
\( u'=2x\cos(x^2) \)
\( v'=-\sin(x)e^{\cos(x)} \)
Étape 3 : produit
\( f'(x)=u'v+uv' \)
\( f'(x)=2x\cos(x^2)e^{\cos(x)}-\sin(x)\sin(x^2)e^{\cos(x)} \)
5. \( f(x)=\ln\left(\frac{e^x}{x^2+1}\right) \)
Étape 1 — simplification :
\( f(x)=\ln(e^x)-\ln(x^2+1) \)
Étape 2 :
\( f(x)=x-\ln(x^2+1) \)
Étape 3 :
\( f'(x)=1-\frac{2x}{x^2+1} \)
\( f'(x)=1-\frac{2x}{x^2+1} \)
6. \( f(x)=e^{x\ln(x)} \)
Étape 1 : chaîne \( u=x\ln(x) \)
Étape 2 : produit interne
\( u'=\ln(x)+1 \)
Étape 3 :
\( f'(x)=u'e^u \)
\( f'(x)=e^{x\ln(x)}(\ln(x)+1) \)
7. \( f(x)=\frac{\tan(x)}{e^x} \)
Étape 1 : quotient
Étape 2 :
\( (\tan x)'=\sec^2 x \)
\( (e^x)'=e^x \)
Étape 3 :
\( f'(x)=\frac{\sec^2(x)e^x-\tan(x)e^x}{e^{2x}} \)
\( f'(x)=\frac{e^x(\sec^2 x-\tan x)}{e^{2x}} \)
8. \( f(x)=\ln(\sin(x)+e^x) \)
Étape 1 : chaîne
Étape 2 : dérivée interne
\( (\sin x)'=\cos x \)
\( (e^x)'=e^x \)
Étape 3 :
\( f'(x)=\frac{\cos(x)+e^x}{\sin(x)+e^x} \)
\( f'(x)=\frac{\cos(x)+e^x}{\sin(x)+e^x} \)
9. \( f(x)=x^x \)
Étape 1 : logarithme
\( \ln f=x\ln x \)
Étape 2 :
\( (\ln f)'=\frac{f'}{f} \)
Étape 3 :
\( (\ln f)'=\ln(x)+1 \)
\( f'(x)=x^x(\ln(x)+1) \)
10. \( f(x)=e^{\sin(x^2)}\ln(x^3+1) \)
Étape 1 : produit
Étape 2 : chaînes :
\( (\sin(x^2))'=2x\cos(x^2) \)
\( (\ln(x^3+1))'=\frac{3x^2}{x^3+1} \)
Étape 3 : produit
\( f'(x)=e^{\sin(x^2)}(2x\cos(x^2))\ln(x^3+1)+e^{\sin(x^2)}\frac{3x^2}{x^3+1} \)
11. \( f(x)=\ln(x^2 e^x) \)
Étape 1 — simplification logarithmique :
\( f(x)=\ln(x^2)+\ln(e^x) \)
\( f(x)=2\ln(x)+x \)
Étape 2 — dérivation :
\( f'(x)=\frac{2}{x}+1 \)
\( f'(x)=\frac{2}{x}+1 \)
12. \( f(x)=\frac{e^{2x}\cos(x)}{x} \)
Étape 1 — quotient : \( u=e^{2x}\cos(x), v=x \)
Étape 2 — dériver u :
\( u' = 2e^{2x}\cos(x) - e^{2x}\sin(x) \)
Étape 3 — quotient :
\( f'(x)=\frac{u'v - uv'}{v^2} \)
\( f'(x)=\frac{(2e^{2x}\cos(x)-e^{2x}\sin(x))x - e^{2x}\cos(x)}{x^2} \)
13. \( f(x)=\sin(\ln(x)) \)
Étape 1 — chaîne :
extérieur : sin, intérieur : ln(x)
Étape 2 :
\( f'(x)=\cos(\ln(x))\cdot \frac{1}{x} \)
\( f'(x)=\frac{\cos(\ln(x))}{x} \)
14. \( f(x)=e^{\tan(x)} \)
Étape 1 : chaîne
\( (\tan x)'=\sec^2 x \)
Étape 2 :
\( f'(x)=e^{\tan(x)}\sec^2(x) \)
\( f'(x)=e^{\tan(x)}\sec^2(x) \)
15. \( f(x)=x\ln(x^2+1) \)
Étape 1 — produit :
\( u=x,\; v=\ln(x^2+1) \)
Étape 2 :
\( v'=\frac{2x}{x^2+1} \)
Étape 3 :
\( f'(x)=\ln(x^2+1)+x\frac{2x}{x^2+1} \)
\( f'(x)=\ln(x^2+1)+\frac{2x^2}{x^2+1} \)
16. \( f(x)=\frac{\sin(x)}{\ln(x)} \)
Étape 1 — quotient :
\( u=\sin x,\; v=\ln x \)
Étape 2 :
\( u'=\cos x,\; v'=\frac{1}{x} \)
\( f'(x)=\frac{\cos(x)\ln(x)-\sin(x)\frac{1}{x}}{\ln^2(x)} \)
17. \( f(x)=e^{x^2+x}\sin(x) \)
Étape 1 — produit :
\( u=e^{x^2+x},\; v=\sin x \)
Étape 2 :
\( u'=e^{x^2+x}(2x+1) \)
\( v'=\cos x \)
\( f'(x)=e^{x^2+x}(2x+1)\sin(x)+e^{x^2+x}\cos(x) \)
18. \( f(x)=\ln(\sqrt{x}+e^x) \)
Étape 1 :
\( (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}} \)
Étape 2 :
\( f'(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}+e^x}{\sqrt{x}+e^x} \)
\( f'(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}+e^x}{\sqrt{x}+e^x} \)
19. \( f(x)=x^2\ln(x)e^{x} \)
Étape 1 — produit triple :
\( u=x^2,\; v=\ln x,\; w=e^x \)
Étape 2 :
\( u'=2x,\; v'=\frac{1}{x},\; w'=e^x \)
\( f'(x)=2x\ln(x)e^x + x^2\frac{1}{x}e^x + x^2\ln(x)e^x \)
20. \( f(x)=e^{\ln(x)\cdot x^2} \)
Étape 1 — chaîne :
\( u=x^2\ln(x) \)
Étape 2 — produit interne :
\( u'=2x\ln(x)+x \)
Étape 3 :
\( f'(x)=e^{x^2\ln(x)}(2x\ln(x)+x) \)
\( f'(x)=e^{x^2\ln(x)}(2x\ln(x)+x) \)