Règles fondamentales
Constante : \( (c)' = 0 \)
Puissance : \( (x^n)' = n x^{n-1} \)
Somme / différence : \( (f \pm g)' = f' \pm g' \)
Idée clé
La dérivation est linéaire et agit terme par terme.
Erreur fréquente
❌ Faire attention au constantes qui ne sont pas rationnelles ex: \( e, \sqrt{2 \pi} \).
Exemple 1 — Polynôme simple
Fonction : \( f(x)=3x^2+5x-7 \)
Étape 1 : Dérivation terme par terme
\( (3x^2)'=6x \)
\( (5x)'=5 \)
\( (-7)'=0 \)
Application :
\( f'(x)=6x+5 \)
\( f'(x)=6x+5 \)
Exemple 2 — Puissances et constantes
Fonction : \( f(x)=4x^5-2x^3+x \)
Étape 1 : Dérivation
\( (4x^5)'=20x^4 \)
\( (-2x^3)'=-6x^2 \)
\( (x)'=1 \)
Application :
\( f'(x)=20x^4-6x^2+1 \)
\( f'(x)=20x^4-6x^2+1 \)
Exemple 3 — Fraction avec puissances
Fonction : \( f(x)=\frac{1}{x^2}+2x^3 \)
Étape 1 : Réécriture
\( f(x)=x^{-2}+2x^3 \)
Étape 2 : Dérivation
\( (x^{-2})'=-2x^{-3} \)
\( (2x^3)'=6x^2 \)
Application :
\( f'(x)=-2x^{-3}+6x^2 \)
\( f'(x)= -\frac{2}{x^3} + 6x^2 \)
Exemple 4 — Constantes à faire attention
Fonction : \( f(x)=e^2 x^3 + \sqrt{\pi} x - 7\pi \)
Étape 1 : Identifier les constantes
\( e^2,\; \sqrt{\pi},\; 7\pi \) sont des constantes (ne dépendent pas de \(x\))
Étape 2 : Dérivation terme par terme
\( (e^2 x^3)' = e^2 \cdot 3x^2 \)
\( (\sqrt{\pi} x)' = \sqrt{\pi} \cdot 1 \)
\( (-7\pi)' = 0 \)
Application :
\( f'(x)=3e^2 x^2 + \sqrt{\pi} \)
Résultat :
\( f'(x)=3e^2 x^2 + \sqrt{\pi} \)