Intuition
La dérivée d’un quotient dépend de la variation du numérateur et du dénominateur. Une croissance en bas réduit l’effet global.
Règle du quotient
Si \( f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \), alors :
\( f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2} \)
Erreur fréquente
❌ Dériver séparément numérateur et dénominateur
✔ Toujours utiliser la formule complète
✔ Toujours essayer de simplifier avant de dériver
Exemple 1 — Polynômes
Fonction : \( f(x)=\frac{x^2}{x+1} \)
\( u(x)=x^2,\quad v(x)=x+1 \)
\( u'(x)=2x,\quad v'(x)=1 \)
\( f'(x)=\frac{2x(x+1)-x^2(1)}{(x+1)^2} \)
\( f'(x)=\frac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2} \)
Résultat :
\( f'(x)=\frac{x^2+2x}{(x+1)^2} \)
Exemple 2 — Racine
Fonction : \( f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x} \)
\( f(x)=\frac{x^{1/2}}{x} \)
\( u(x)=x^{1/2},\quad v(x)=x \)
\( u'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2},\quad v'(x)=1 \)
\( f'(x)=\frac{\frac{1}{2}x^{-1/2}\cdot x - x^{1/2}\cdot 1}{x^2} \)
\( f'(x)=\frac{\frac{1}{2}x^{-1/2}\cdot x^1 - x^{1/2}}{x^2} \)
\( f'(x)=\frac{\frac{1}{2}x^{1/2}- x^{1/2}\cdot 1}{x^2} \)
\( f'(x)=\frac{\frac{-1}{2}x^{1/2}}{x^2} \)
\( f'(x)=\frac{-1}{2} x^{-3/2} \)
\( f'(x)=\frac{-1}{2 x^{3/2}} \)
\( f'(x)=\frac{-1}{2 \sqrt{x^3}} \)
Exemple 2 — Racine (avec simplification)
Fonction : \( f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x} \)
Étape 1 — Simplification :
\( f(x)=\frac{x^{1/2}}{x}=x^{1/2-1}=x^{-1/2} \)
Étape 2 — Dérivation :
\( f'(x)= -\frac{1}{2}x^{-3/2} \)
Résultat :
\( f'(x)= -\frac{1}{2\sqrt{x^3}} \)
Exemple 3 — Exponentielle
Fonction : \( f(x)=\frac{e^x}{x^2} \)
\( u(x)=e^x,\quad v(x)=x^2 \)
\( u'(x)=e^x,\quad v'(x)=2x \)
\( f'(x)=\frac{e^x x^2 - e^x(2x)}{x^4} \)
\( f'(x)=\frac{e^x(x^2-2x)}{x^4} \)
\( f'(x)=\frac{e^x}{x^3} (\frac{x^2-2x}{x} ) \)
\( f'(x)=\frac{e^x}{x^3} (x-2) \)
\( f'(x)=\frac{e^x(x-2)}{x^3} \)