Intuition
Quand deux fonctions sont multipliées, leurs variations interagissent.
Règle du produit
\( (f \cdot g)' = f'g + fg' \)
Erreur fréquente
Oublier de dériver les deux facteurs séparément.
Exemple 1 — Polynômes
Fonction : \( f(x)=x^2(3x+5) \)
Étape 1 : \( u(x)=x^2,\; v(x)=3x+5 \)
Étape 2 : \( u'(x)=2x,\; v'(x)=3 \)
Application :
\( f'(x)=2x(3x+5)+x^2(3) \)
Résultat :
\( f'(x)=9x^2+10x \)
Exemple 2 — Racine
Fonction : \( f(x)=x\sqrt{x} \)
\( f(x)=x \cdot x^{1/2} \)
\( u(x)=x,\; v(x)=x^{1/2} \)
\( u'(x)=1,\; v'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2} \)
\( f'(x)=x^{1/2}+\frac{1}{2}x^{1/2} \)
\( f'(x)=\frac{3}{2}x^{1/2} \)
\( f'(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x} \)
Exemple 3 — Exponentielle
Fonction : \( f(x)=x^2 e^x \)
\( u(x)=x^2,\; v(x)=e^x \)
\( u'(x)=2x,\; v'(x)=e^x \)
\( f'(x)=2x e^x + x^2 e^x \)
\( f'(x)=e^x(x^2+2x) \)