Définition de la dérivée
\( \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)
Interprétation
La dérivée représente la pente de la tangente à la courbe en un point.
Exemple 1 — Fonction linéaire
Fonction : \( f(x)=2x+3 \)
Étape 1 : \( f(x+h) \)
\( f(x+h)=2x+2h+3 \)
Étape 2 : Différence
\( f(x+h)-f(x)=2h \)
Étape 3 : Quotient
\( \frac{2h}{h}=2 \)
Étape 4 : Limite
\( \displaystyle \lim_{h \to 0} 2 = 2 \)
\( f'(x)=2 \)
Exemple 2 — Fonction quadratique
Fonction : \( f(x)=x^2 \)
Étape 1 : \( f(x+h) \)
\( x^2+2xh+h^2 \)
Étape 2 : Différence
\( 2xh+h^2 \)
Étape 3 : Quotient
\( 2x+h \)
Étape 4 : Limite
\( \displaystyle \lim_{h \to 0} (2x+h)=2x \)
\( f'(x)=2x \)
Exemple 3 — Fonction racine
Fonction : \( f(x)=\sqrt{x} \)
Étape 1 : Expression de la définition
\( \displaystyle \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \)
Étape 2 : Rationalisation
\( \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} \)
Étape 3 : Simplification
\( \frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} \)
Étape 4 : Limite
\( \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \)