Formules essentielles
\( (e^x)' = e^x \)
\( (e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)} \)
\( (a^x)' = a^x \ln(a) \)
\( (\ln x)' = \frac{1}{x} \)
\( (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln(a)} \)
Erreurs fréquentes
❌ Oublier la règle de la chaîne pour \( e^{u(x)} \)
❌ Confondre \( \ln(x) \) et \( \log(x) \)
✔ Toujours vérifier le domaine : \( x > 0 \) pour les logs
Exemple 1 — Produit avec exponentielle
Fonction : \( f(x)=x e^x \)
Étape 1 : \( u(x)=x,\; v(x)=e^x \)
Étape 2 : \( u'(x)=1,\; v'(x)=e^x \)
Application :
\( f'(x)=1 \cdot e^x + x \cdot e^x \)
\( f'(x)=e^x(1+x) \)
Exemple 2 — Chaîne exponentielle
Fonction : \( f(x)=e^{3x} \)
Étape : poser \( u(x)=3x \)
\( u'(x)=3 \)
\( f'(x)=3e^{3x} \)
\( f'(x)=3e^{3x} \)
Exemple 3 — Logarithme naturel
Fonction : \( f(x)=\ln(x) \)
\( f'(x)=\frac{1}{x} \)
\( f'(x)=\frac{1}{x} \)
Exemple 4 — Logarithme en base quelconque
Fonction : \( f(x)=\log_2(x) \)
Formule : \( (\log_a x)'=\frac{1}{x\ln(a)} \)
\( f'(x)=\frac{1}{x\ln(2)} \)
\( f'(x)=\frac{1}{x\ln(2)} \)
Exemple 5 — Fonction composée
Fonction : \( f(x)=\ln(x)\cdot e^{2x^2} \)
Étape 1 : Identifier les fonctions
\( u(x)=\ln(x),\quad v(x)=e^{2x^2} \)
Étape 2 : Dériver chaque partie
\( u'(x)=\frac{1}{x} \)
\( v'(x)=e^{2x^2}\cdot 4x \) (règle de la chaîne)
Étape 3 : Règle du produit
\( f'(x)=u'v+uv' \)
\( f'(x)=\frac{1}{x}e^{2x^2}+\ln(x)\cdot 4x e^{2x^2} \)
Étape 4 : Factorisation
\( f'(x)=e^{2x^2}\left(\frac{1}{x}+4x\ln(x)\right) \)
Résultat :
\( f'(x)=e^{2x^2}\left(\frac{1}{x}+4x\ln(x)\right) \)