Idée clé
On dérive une fonction composée en multipliant la dérivée externe par la dérivée interne.
Règle de la chaîne
\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
Erreur fréquente
❌ Ne pas savoir quand arrêter la dérivation.
✔ Toujours essayer de simplifier avant de dériver .
Exemple 1 — Polynôme composé
Fonction : \( f(x)=(3x+2)^5 \)
Étape 1 : Identifier les fonctions
\( u(x)=3x+2,\; f(u)=u^5 \)
Étape 2 : Dérivées
\( u'(x)=3,\; f'(u)=5u^4 \)
Application :
\( f'(x)=5(3x+2)^4 \cdot 3 \)
\( f'(x)=15(3x+2)^4 \)
Exemple 2 — Racine composée
Fonction : \( f(x)=\sqrt{2x^2+1} \)
Étape 1 : Réécriture
\( f(x)=(2x^2+1)^{1/2} \)
Étape 2 : Fonctions
\( u(x)=2x^2+1 \)
Dérivées :
\( u'(x)=4x \)
\( f'(u)=\frac{1}{2}u^{-1/2} \)
Application :
\( f'(x)=\frac{1}{2}(2x^2+1)^{-1/2} \cdot 4x \)
\( f'(x)=\frac{2x}{\sqrt{2x^2+1}} \)
Exemple 3 — Exponentielle composée
Fonction : \( f(x)=e^{x^2+3x} \)
Étape 1 : Fonction interne
\( u(x)=x^2+3x \)
Dérivées :
\( u'(x)=2x+3 \)
\( f'(u)=e^u \)
Application :
\( f'(x)=e^{x^2+3x}(2x+3) \)
\( f'(x)=(2x+3)e^{x^2+3x} \)
Exemple 4 — Fonction au carré : deux méthodes
Fonction : \( f(x)=(x^2+1)^2 \)
Méthode 1 — Dérivation en chaîne directe
Étape 1 : Identifier les fonctions
\( u(x)=x^2+1,\; f(u)=u^2 \)
Étape 2 : Dérivées
\( u'(x)=2x,\; f'(u)=2u \)
Application :
\( f'(x)=2(x^2+1)\cdot 2x \)
\( f'(x)=4x(x^2+1) \)
Méthode 2 — Simplification avant dérivation
Étape 1 : Développer la fonction
\( (x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1 \)
Étape 2 : Dériver terme par terme
\( f'(x)=4x^3 + 4x \)
Étape 3 : Factorisation
\( f'(x)=4x(x^2+1) \)
Résultat (identique dans les deux cas) :
\( f'(x)=4x(x^2+1) \)
Exemple 5 — Composition multiple
Fonction : \( f(x)=\sqrt{(3x^2+1)^3} \)
On réécrit sous forme de composition :
\( h(x)=3x^2+1 \)
\( g(u)=u^3 \)
\( f(v)=\sqrt{v}=v^{1/2} \)
Étape 1 — Dérivées des fonctions internes
\( h'(x)=6x \)
\( g'(u)=3u^2 \)
\( f'(v)=\frac{1}{2}v^{-1/2} \)
Étape 2 — Application de la règle de la chaîne
\( f'(x)=\frac{1}{2}(g(h(x)))^{-1/2} \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \)
\( f'(x)=\frac{1}{2}((3x^2+1)^3)^{-1/2} \cdot 3(3x^2+1)^2 \cdot 6x \)
Réorganisation :
\( f'(x)=9x(3x^2+1)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{(3x^2+1)^3}} \)
\( f'(x)=\frac{9x(3x^2+1)^2}{(3x^2+1)^{3/2}} \)
Résultat simplifié :
\( f'(x)=9x(3x^2+1)^{1/2} \)